LA PROPORCIÓN ÁUREA

           

           El número de oro

La proporción áurea es la relación existente entre los segmentos de una recta y el total de la misma, relación que se puede aplicar a todo tipo de figuras geométricas. La divina proporción o proporción áurea, expresada mediante el número de oro (Ф), se encuentra escondida en numerosos elementos de la naturaleza como las conchas de los moluscos, la ramificación de los árboles, la configuración de las hojas en los tallos de las plantas o las pipas de los girasoles e  incluso la formación de las galaxias espirales.

Ya desde la antigüedad este fenómeno no pasó inadvertido y fue estudiado por los matemáticos, científicos y artistas más importantes de todas las épocas. Su pretensión no sólo era descubrir los secretos de esta proporción sino también aplicarla a sus propias creaciones para alcanzar así la belleza ideal, las obras más armónicas y perfectas que pudieran concebirse.

            El número de oro fue un hallazgo de la Grecia clásica y el primer libro en donde aparece  mencionado es Los elementos de Euclides (s.IV-III a.c.), libro fundamental para la geometría y las matemáticas en general ya que constituye una enciclopedia de los axiomas, principios y saberes de las matemáticas. Euclides habló de un punto que dividía una recta en dos segmentos, uno mayor y otro menor, de tal forma que este punto estuviese situado donde crease una misma proporción entre el segmento menor y el mayor y entre el mayor y el total de la línea, es decir, que “el todo es a la parte como la parte es al resto”. Euclides no le da un nombre, será Luca Pacioli quien lo llame “divina proporción” y, ya en el s.XX, Mark Barr propuso llamarlo phi (Ф) en honor al arquitecto griego Fidias, constructor del Partenón de Atenas.

 Triángulo de Arquímedes

            Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci (1170-1250) investigó la teoría de números e introdujo en Europa la numeración decimal arábiga en su obra Liber Abaci pero además, en esta obra, resolvió un problema que acabará por estar directamente relacionado con el número áureo. El problema es el siguiente: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? La solución es la famosa secuencia de Fibonacci en la que, empezando por el 1, cada término se obtiene de la suma de los dos anteriores. La relación más visible (porque hay muchas) que existe entre esta secuencia y el número áureo es que a medida que tendemos al infinito la división entre un término de la secuencia y el término inmediatamente anterior nos dará como resultado un número cada vez más cercano a Ф (1,618…).

            Fue Luca Pacioli en 1498 quien escribió una obra que sintetizaba todo lo que se sabía sobre este número y esta proporción y lo aplicaba a los distintos cuerpos geométricos con la inestimable ayuda de las ilustraciones de Leonardo da Vinci. El resultado fue De divina proportione, publicada en 1509. Mediante una reflexión sobre la geometría inspirada en el Tractato de architectura de Vitruvio, Pacioli establece las proporciones que deben cumplirse para conseguir la belleza ideal con las demostraciones de los dibujos de Leonardo. Ahí se encuentran los dibujos de los sesenta poliedros y el famoso “hombre ideal” u “hombre de Vitrubio”, que tiene como base el número phi, relación existente entre el lado del cuadrado y el radio del círculo. 

            Tanto la obra de Pacioli como el Tratado de pintura de Leonardo o las obras de Leon Battista Alberti fueron claves en la unión de matemáticas, ciencias y artes. El testigo fue recogido por el alemán Alberto Durero en su obra De la medida en la que habló de la belleza ideal y de cómo construir figuras, cuerpos y curvas como la espiral de Arquímedes o la espiral basada en la sección áurea, conocida a partir de entonces como la espiral de Durero: <<La belleza consiste en la armonía de las artes entre sí y con el todo […] Lo mismo que cada parte en sí debe ser convenientemente dibujada, también su reunión debe crear una armonía de conjunto, […] porque a los elementos armoniosos se les tiene por

bellos>>.

            Rectángulos áureos y espiral de Durero aplicados a Mona Lisa

             Ya en el siglo XX los artistas recobraron su interés por las matemáticas. Kandinsky en su obra De lo espiritual en el arte propuso la concepción matemática como base para la obra de arte, algo decisivo en su obra así como en la de Mondrian, Marcel Duchamp, Juan Gris, Salvador Dalí o los pintores abstractos.

                                                 Espiral logarítmica o espiral de Durero

Por otra parte la proporción áurea se halla presente durante toda la historia de la arquitectura, desde la pirámide de Keops hasta los edificios de Le Corbusier. En el caso de la pirámide la relación entre la base y la altura de la pirámide tiene correspondencia con el número Ф.

Siempre se ha considerado el Partenón de Atenas, obra de Fidias, como un ejemplo paradigmático de proporción áurea aplicada a la arquitectura pero las medidas precisas sobre el terreno no representan exactamente el número phi. Lo que sí está claro es que se acerca mucho al número de oro. 

Las manifestaciones de esta proporción sí fueron totalmente conscientes en la arquitectura de la Edad Media y el Renacimiento como se puede observar, por ejemplo, en la fachada de la Universidad de Salamanca o en la catedral de Notre Dame en París, que describen rectángulos áureos exactos. También los rosetones de las catedrales e iglesias góticas siguen la estructura, en muchísimos casos, del pentágono áureo.

Y ya en la arquitectura del siglo XX encontramos el número de oro en las construcciones de muchísimos arquitectos que se beneficiaron de las numerosas posibilidades arquitectónicas que brindaban los nuevos materiales. Ejemplos son las obras de Zvi Hecker, Frank Lloyd Wright y, sobre todo, Le Corbusier que no sólo inventó el modulor, una nueva unidad de medida basada en la del cuerpo humano, sino que aplicó la razón áurea en muchísimas de sus creaciones, como por ejemplo el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York, que dispone de tres rectángulos áureos en su fachada.

El número de oro en la naturaleza

El número áureo es un descubrimiento del ser humano y sus aplicaciones en el arte una forma de crear, o intentar, crear belleza. Pero esta proporción no sólo es una creación humana, el estudio del hombre sobre phi se basa en el hecho de que está presente por todas partes en la naturaleza. Cuando se acercan a un punto de luz los insectos trazan una espiral logarítmica, una espiral áurea que siempre es la misma porque es la única en la que siempre conservan el mismo ángulo de giro, la misma espiral que dibujan las aves de presa cuando se lanzan a cazar, la única con la que pueden mantener la cabeza recta manteniendo siempre el control visual sobre las presas y maximizando la velocidad.

El número phi se halla en el mismo cuerpo humano del cual, si tuviésemos que extraer una medida ideal, lo haríamos calculando la media entre todos los cuerpos medidos. Pues bien, diversos estudios estadísticos demuestran que la media en la medida de la altura total de un cuerpo humano y la distancia desde el suelo al ombligo revelan esta proporción: si asignamos el valor 1 a la distancia del pie al ombligo la altura total del cuerpo sería de 1,618.

En la Edad Media, para la construcción de los templos, los constructores empleaban instrumentos de medida basados en las medidas humanas. Las medidas que utilizaban eran la palma[1], la cuarta, el palmo, el pie y el codo, todas ellas múltiplos de una unidad llamada línea (2.247 milímetros).  Si expresamos todas estas medidas en líneas obtendremos términos de la sucesión de Fibonacci, es decir, la relación entre cada uno de estas medidas y la anterior es Ф, relación existente en el cuerpo humano.

La proporción áurea está muy presente en el mundo vegetal. La filotaxis estudia la disposición de las hojas de una planta sobre el tallo. Esta disposición nunca es arbitraria, sigue siempre un orden y unos patrones determinados para que la planta aproveche al máximo el oxígeno, la luz y las sales minerales.

           Da Vinci se dio cuenta de que las hojas se colocaban siguiendo espirales a lo largo del tallo en grupos de cinco. Pero además, las ramificaciones de muchos árboles siguen la secuencia de Fibonacci. Incluso, todas las flores tienen un número de pétalos que siempre es un término de esta sucesión, baste con observar una margarita o un diente de león. Si observamos la flor de un girasol la disposición de las semillas en su centro configura espirales áureas y cada una de estas espirales estará formada por un número de la sucesión de Fibonacci, exactamente lo mismo que sucede en las alcachofas, las piñas o la disposición de los pétalos de una rosa. Y más, si asignamos el valor 1 a la anchura de una piña, la longitud será Ф, exactamente lo mismo sucederá, por ejemplo, con las hojas de las higueras y los olmos de montaña o las mismas alcachofas.

Encontramos una explicación no sólo matemática sino también coherente y lógica a este fenómeno. Consiste en crecer conservando la forma, la espiral logarítmica es la única que se va ensanchado a medida que gira conservando siempre el mismo ángulo y la misma forma. Sólo con la proporción áurea es como los seres vivos pueden crecer manteniendo las mismas proporciones, por eso la espiral áurea es la que da forma a los caracoles, cuyo ejemplo paradigmático sería el nautilus que sobre cada parte de la concha añade cámaras de mayor tamaño pero exactamente iguales. Hay otras geometrías áureas representadas en los animales. Por ejemplo las estrellas de mar son pentágonos áureos.

 Nautilus

Por otra parte, y en una dimensión distinta, los movimientos de turbulencia con una velocidad de expansión creciente como pueden ser los remolinos de un río o del agua que vemos caer por el desagüe siguen también la línea de la espiral áurea. La misma espiral que traza un gusano al enrollarse, la misma espiral que siguen las galaxias espirales.

 Galaxias espirales

Una nueva disciplina como son las matemáticas de fractales muestra que aún hoy el número phi resulta fundamental para comprender y analizar determinados fenómenos en los que la naturaleza crece conservando la forma, como sucede con muchos árboles y con estructuras tan hermosas como el brócoli romanesco que podemos comprar en el supermercado.   

 Brócoli romanesco

Todo esto no hace más que enseñarnos que phi es el número irracional más importante de la historia junto a pi, que la naturaleza lo emplea continuamente desde los objetos más pequeños hasta las galaxias (hoy día se está estudiando la curiosa relación que ya se ha descubierto entre Ф y los agujeros negros) y que el ser humano ha sabido identificarlo y crear con él ideales de belleza basados en el mundo físico y aplicándolos a las más excelsas obras de arte.

Y el viaje de uno de los números más antiguos de la historia, realmente, no ha hecho más que comenzar. Desde el dedo índice hasta el ombligo y la coronilla, desde el desagüe de la bañera hasta las galaxias espirales, son sólo pequeñas partes de su camino, del cual aún está todo por descubrir.

Introducción al curso monográfico "La proporción áurea. El número de oro en la historia del arte" que tendrá lugar en el taller Monart " de Barcelona los días 25 y 26 de julio:
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[1] Cuarta: Distancia entre las puntas del dedo índice y el meñique con la mano abierta.

Palma: Distancia entre los lados de la palma de la mano.

Palmo: Distancia entre las puntas del dedo pulgar y el meñique con la mano abierta.

Codo: Distancia entre el codo y la punta del dedo anular con la mano abierta.